05 Jul 2017

​Magiske kvadrater og mystiske nøkler

Et magisk kvadrat er en tabell med like mange rader som kolonner. I hver celle skal det stå et tall. Tall i kvadratet skal bare forekommer en gang og summen av tallene i hver rad, i hver kolonne og i diagonalene skal være lik. F.eks. i et kvadrat av 3. orden (3 x 3 kvadrat) vil disse summene alltid være 15. Tallet 15 er den magiske konstanten. Vårt magisk kvadrat av 3. orden kan roteres og speiles og på denne måten lage ytterligere 7 nye kvadratet. Vi skal senere se litt på teorien bak dette men nøyer oss nå med å slå fast at alle disse tilhører det vi kaller samme ekvivalens klasse.

Magisk kvadrat av 3. orden (bilde til venstre)

Alle magiske kvadrater har en magisk konstant. Dette er rekke, kolonne og diagonalsummene. Denne kan du lett beregne utfra formelen Mk = [n (n2 + 1)] / 2. I vårt 3 x 3 kvadrat blir den magiske konstanten Mk = [3(32+1)] /2 = 3*10/2=15. For magisk kvadrater av 4., 5., 6., 7. og 8. orden er de magiske konstantene henholdsvis: 34, 65, 111, 175, og 260. I et magisk kvadrat av 4. orden er det hundrevis av løsninger i ekvivalensklassen. Alle med magisk konstant 34.

Magisk kvadrater har ikke hoppet ut av datamaskiner i nyere tid, men har en lang historie. Pålitelig dokumentasjon kan dateres tilbake til sekshundre tallet f.Kr. i Kina. Etter dette finner vi de spredt til mange geografier og kulturer. Når du trekker linjer mellom tallene i rekkefølge i kvadratet dukker det opp mystiske mønstre. Mange av historiene bak disse ble kun brakt videre muntlig og har dessverre delvis gått tapt. I moderne tid har magiske kvadratene blitt videreutviklet vha. kraftige datamaskiner hvor vi har kunnet oppdage helt nye former og mønstre hvor kvadratene også har vist seg frem som flerdimensjonale objekter. F.eks. gjennom transformasjoner, multiplikasjoner, bruk av tegn og symboler. Vi ser nye spennende konstruksjoner utover de kjente to dimensjonale kvadratene med rader og kolonner. Nye avledede former viser oss blant annet parallell diagonaler og multiplikative kvadrater. Slike former med kvadrater av høyere orden, er svært vanskelige å løse uten støtte fra kraftige dataprogrammer.

Blant de mange fasinerende historiene om magiske kvadrater finner vi en fortelling fra Kina og Lu Shu (Lo Chu). Her får vi høre om kong Yu som strevde med å kanalisere flomvann ut i havet og ofret derfor til elvegudene. Hver gang ved flom, dukket det opp en skilpadde med et 3x3 rutenett med sirkulære prikker arrangert slik at summen av alle rader, kolonner og diagonaler var 15. 15 er antall dager i de 24 syklusene i det kinetiske solåret. Et lite barn knakk gåten og etter dette brukte kong Yu og beboerne på elvedeltaet dette mønstret for å kontrollere elva og beskytte seg mot flom.

Til Arabia kom magiske kvadrater enten gjennom kontakt med kultur og matematikere i India eller via Kina. Materiale fra Bagdad datert til 900 tallet viser at araberne løste magiske kvadrater både av 5. og 6. orden. Araberne tilla magiske kvadrater av 3. orden fertile- og mystiske egenskaper og det antas at det også var araberne som først knyttet astrologiske begninger til magiske kvadrater.

I europeiske litteratur finner vi på trettenhundertallet beskrivelser av magiske kvadrater både i Italia og i Spania. Det er tydelige linjer fra de spanske verkene på denne tiden til kunnskap om magiske kvadrater hentet fra Arabia. M.a.o. vitenskapelig samhandling i «før-internett» tidsalderen! Her leser vi om at de magiske kvadrater også ble knyttet til planetene. F.eks. Saturn=15, Solen=111 og Månen =369. Reduksjonen av tallet 369 er 9, tilsvarende den 9. sefirah på Livets Tre, Yesod, som jo korresponderer med månen. Alt henger sammen. Blant ledende kabbalister som har arbeidet med magiske kvadrater finnen vi bl.a. Rabbi Joseph Tzayach. Tzayach beskrev sammenhengene mellom de magiske kvadratene og korrespondansene med planetene og sefirotene i Kabbalah (se http://www.amorc.no/arkiv/kabbala.h... for mer om Rosenkors-Ordenen A.MO.R.C og Kabbalah).

Vi finner i Spania de samme dragningen mot astrologi som i Italia, men italienere gikk imidlertid mye lengre. De fant ut at de også kunne benyttet magiske kvadrater til å utforme helt nye matematiske problemstillinger og lage nye spill – trettenhundretallets Candy Chrunch. Innen europeisk billedkunst finner vi både tydelig eksponerte, men også mer diskre plasserte magiske kvadratet. Blant de kjente og mye diskuterte er Melencolia I av renessansekunstneren Albrecht Dürer. På kobberstikket som er laget rundt årsskifte 1514, finner vi dette tallet både i det magiske kvadratet på veggen og i signaturen til kunstneren.

En systematisk metode for å konstruere et magiske kvadrater av 3. orden er beskrevet av den franske matematikeren Edouard Lucas i det nittende århundre. Lucas er kanskje mest kjent for sin oppsiktsvekkende løsning av kanonball problemet fra matematikken. Formelen som Lucas kom frem til for magiske kvadrater av 3. orden har visse begrensninger i parameterne. Prøv selv å finne gyldighetsområde for parameterne!

Konstruksjon av kvadrat av 3. orden ilfg. Edouard Lucas (bilde ovan)

Varianter av magiske kvadrater er palindromer, bruk av symboler og hebraiske tegn. Det latinske uttrykket «Sator Arepo Tenet Opera Rotos» danner et slik 5x5 kvadratisk ordspill og kan leses begge veier. Oversatt blir det noe slik som «Såmannen holder hjulene i gang ved arbeid». Hemmeligheten bak ordet «Arepo» har ingen så langt klart å knekke, men det finnes mange forslag. I moderne litteratur møter vi bl.a. magiske kvadrater i Dan Brown «Det tapte symbol», hvor det skjult i den eldgamle teksten i «De Occulta Philosophia» er beskrevet mystiske krefter i et magisk kvadrat med nøkkelen til å løse pyramidens kodegåte.

Ordspillet Sator Arepo Tenet Opera Rotos (bilde til højre)

I dag benyttes kraftige datamaskiner for å trenge dypere og lengre inn i magiske kvadrater. Transformasjoner av magiske kvadrater av høyere orden til magiske kuber er avhengig av avansert analytiske dataprogrammer og har gitt mange oppsiktsvekkende praktiske anvendelser. Hvem hadde tenkt på at magiske kvadrater kunne modellere Keplers kulepakkingsproblem. Dvs. hvordan vi bør stable kuler av lik størrelse slik at det blir mest mulig kompakt i det euklidske rom. Dette kan du bruke til å spare papir neste gang du skal pakke inn gaver eller når du skal stable appelsiner i et alt for lite fruktfat.

I vårt IT drevne samfunn, Cyber Networks, Information at Your Fingertips og Big Data finner jeg det fasinerende å lese om hvordan de i oldtiden fant komplekse magiske kvadrater av høyere orden uten hjelpemidler slik vi kjenner slike i dag. Eller…….…hadde de tilgang til datamaskiner og programmerere fra andra galakser, mediterte de, visualiserte de, så de mønstre og svarene på stjernehimmelen eller var de rett og slett bare kjempesmarte.

Frater Inge